第三十五期：希尔伯特第一问题的正确解

      报告题目：希尔伯特第一问题的正确解

      报告人：王鸣鹤（数学系退休教师）

      时间：2008年10月10日上午9：30

      地点：新校区J楼101

            报告主要内容：

        1900年, 希尔伯特 ( Hilbert ) 提出了二十三个数学问题,其中第一问题包含两个问题. 问题A: 连续统是否能良序? 问题B: 是否成立 2^À0=ℵ₁? 1904年, 策梅罗 ( Zermelo ) 利用选择公理証明了任何集合都可以良序的良序定理. 一般认为问题A已经解决了. 可是一百年来, 任何数学家即使对最简单的不可数集, 区间 [ 0 , 1 ] , 也无法给出具体的良序关系. 对问题B, 从1938年哥德尔 ( Gödel ) 到1966年柯恩 ( Cohen ) 的论文, 已取得了一系列的间接成果. 但问题B的结论至今仍是一个谜.

        本文建立了研究集合论的新方法—-集合三分法. 严格证明了每一个可数序数都可以与一个确定的自然数建立一一对应关系. 因此,  { 所有可数序数全体 }, 即 { x |  x是可数序数 }, 并不是一个数学集合. ω₁和 ℵ₁ 在数学中并不存在. ( 虽然ω₁ 和 ℵ₁都是康托先提出来的, 但没有深入讨论, 这并不影响康托集合论的正确性.) 于是不可数序数也是不存在的. 这样,希尔伯特第一问题就解决了. 问题A的结论是否定的, 因为连续统是不可数集. 问题B 在数学中是不存在的, 因为其中含有 ℵ₁ .